Методички приступ обради појма природног броја у почетној настави математике

“Мрско ми је све што ме само поучава, а не развија или непосредно не оживљује моју делатност.” (Гете)

Формирање појма природног броја

У почетној настави математике ученици стичу елементарна математчка знања, односно знања о почетним математичким појмовима и односима међу њима. У савременом математичком образовању научност усвојених појмова представља основно начело савременог образовања и основни принцип образовно-васпитног процеса, који се не сме нарушити. При формирању појма природног броја у почетној настави математике појам природног броја не може се уводити преко дефиниција, строго и прецизно, већ се појам поједностављује и прилагођава узрасту ученика. Међутим, то поједностављивање и прилагођавање не сме да одступа од принципа научности, односно не сме водити искривљеном схватању појма и не сме стварати препреке за његово даље надграђивање и уопштавање. То значи, да при изграђивању појма природног броја за битна (карактеристична) својства не смеју се узимати она својства која то нису, као и она својства која су у супротности са научном заснованошћу тог појма или она која би касније сметала, противуречила, његовом даљем надграђивању, јер би се тиме сам појам вулгаризовао.

Тако се, на пример, за карактеристично својство рачунских операција често узима симбол, односно начин означавања рачунске операције, као што је случај у неким уџбеницима математике за основну школу, што је ненаучно, јер се тиме ученици прво упознају са ознаком, па тек онда са самим појмом, што не оставља простора за даље надграђивање тог појма. Међутим, некад је указивање на врсну разлику, односно карактеристично својство, врло сложено и обимно, па се упознавање са појмом и његовим својствима врши путем практичне примене тог појма. То се односи на оне појмове који су ученицима интуитивно и кроз примену јасни. Заправо, сматра се да је, у начелу, некада боље остати при интуитивној представи одређеног појма, него узалудно указивати на нека својства која су непримерена узрасту ученика. Дакле, сазнања о појму природног броја у почетној настави математике стичу се кроз сазнајни процес о појму или путем практичне примене.

Сазнајни процес (процес стицања знања) о појму је веома сложен психолошко-логочки процес.Он се одвија кроз две фазе: - чулно-искуствена и - мисаона фаза.

У чулно-искуственој фази разликујемо две етапе: - прва, у којој настају опажаји, и - друга, у којој се стичу представе о појму.

Опажање је активност непосредног сазнавања предмета и појава чулима. Наиме, посматрањем предмета и појава ученици уочавају нека њихова својства и одражавају их у својој свести. То одражавање називамо опажај или перцепција. Значи, опажај обухвата све психичке процесе који се појављују као непосредна последица чулних надражаја. То је прва “ психолошка степеница” у сазнајном процесу о појму. Нека својства добијена у процесу опажања ученици задржавају у свести и на тај начин стичу представу о појму. То задржавање није производ мишљења, већ психички процес, тако да би то била друга психолошка степеница у сазнајном процесу о појму. Ученик је стекао представу о појму ако, на основу скупа својства добијених у процесу опажања и задржавања у свести, може да препозна сваки објекат који у себи садржи разматрани појам, односно ако међу уоченим својствима појма: - мора бити битних; - може бити небитних; - може бити еквивалентних.

Сазнајни процес у коме ученици откривају својства и стичу представе о појму назива се развијање појма.

Мисаона фаза започиње мисаоном обрадом чулног сазнања, односно од низа својства добијених у чулној фази врши се одабир оних битних (карактеристичних) својства, својства која ће бити задржана у појму, а одацују се она небитна и нематематчка својства.

Мисаоне (менталне) операције којима се врши та обрада чулних искустава су: анализа, компарација, синтеза, апстракција, идентификација и генерализација.

Анализа је мисаоно расчлањивање објеката на њихова својства добијених чулно-исуственим сазнањем.

Компарација је мисаона операција којом се настоји да се установе иста или различита својства два или више објеката, односно да се утврди сличност или разлика између тих објеката.

Синтеза је мисаоно спајање уочених својства у погодне целине.

Апстракција је мисаоно одстрањивање небитних и нематематичких својства, а одабирање битних који ће бити задржани у појму. На пример, посматрањем табле, ако је мисаоно неограничено увећамо, изграђујемо појам равни. Апстракција је од великог значаја у сазнајном процесу о појму и математици уопште, јер апстраховањем нематематичких и небитних својства објеката добијамо апстрактни појам, односно појам који у реалности не постоји.Али погрешно је схватање да се под апстрактним појмом подразумева искључиво појам настао као резултат мисаоног стваралаштва човека изван реалне стварности. Идентификација је мисаоно поистовећивање свих објеката са задржаним битним својствима. Генерализација (уопштавање) је мисаоно преношење идентификације и изван посматраних објеката.

Дакле, резултат сазнајног процеса о појму који се огледа у јединству чулног и мисаоног је математички појам. Он је укупност карактеристичних својства објеката који у себи садрже тај појам. Значи, разлика између представе и појма је у томе што појам садржи само битна, а представа поред битних и небитна својства.

Математички појмови су апстрактни појмови, односно појмови који су апстраховани (ослобођени) од свих својства материјалне стварности, изузимајући својства из подручја просторних облика и квантитативних односа. С тога, када се говори о математичком појму као апстрактном појму, има се у виду појам који садржи одређна општа својства из области квантитативних односа и просторних облика, док су остала својства реалне стварности занемарена. Дакле, сазнајни процес о математичком појму полази од скупа конкретних (реалних) објеката, апстрахујући њихова небитна, а задржавајући битна својства.

Развијање способности за апстраховање код ученика је доста тежак и одговоран задатак у настави математике. Зато је корисно вежбати ученике апстраховању тако да се у почетку елиминише једно по једно својство, јер је њима много једноставније да прво елиминишу на пример боју, па намену, па материјал од којег је предмет направљен и тд., него све одједном. То значи да ученика треба постепено уводити у процес апстраховања, чиме се елиминише могућност поистовећивања појма са нечим што је искључиво плод мисаоног стваралаштва, губећи се тиме из вида да су и својства квантитативних односа и просторних облика, тако]е својства материјалне стварности.

Ако сазнајни процес о појму започиње посматрањем реалних објеката и континуирано се одвија кроз обе фазе, односно ако се мишљење ослања непосредно на опажање, онда се такав процес назива изграђивање математичког појма.

Међутим, сазнајни процес о појму може и посредно да се ослања на опажаје, односно може да се ослања и на већ постојеће чулно искуство стечено ранијим опажањем, односно представама сећања. Значи, процес сазнања о појму у ефикасној настави математике не искључује могућност посредне повезаности мишљења с опажањем. Овакав вид расуђивања је од изузетног значаја за почетну наставу математике, јер се извесни појмови у нижим разредима изучавају на нивоу опажања и тиме стичу представу о појму, а у вишим разредима врши се мисаона обрада раније стеченог чулног искуства.

Сазнајни процес о појму у коме се мишљење ослања посредно на опажање назива се формирање математичког појма.

Значи, изграђивање и формирање математичког појма су сазнајни процеси о појму који се разликују само по међусобној повезаности мишљења и опажања у том процесу.

Сазнајни процес којим се долази до нових сазнања о појму након његовог изграђивања или формирања називамо образовање појма.

Дакле, изграђивањем или формирањем, појам је “рођен” и надаље га треба образовати.

Као психолошко-логички, сазнајни процес о појму усклађује се с логичким законитостима формирања мисаоних операција, које се изграђују кроз три етапе: материјалну, вербалну и мисаону.

Значи, осим чулног (перцепције) и рационалног (мишљења), у процесу изграђивања почетних математичких појмова, важна је и улога говора. Наиме, појмови се код деце развијају и изграђују не само под утицајем перцепције и мишљења, него и под утицајем говора. Употребљавајући исту реч за перциптивно различите садржаје, на пример, две руке, две ноге, две оловке, два дана, и слично, дете уочава у њима оно што је исто, а то је реч “два”. Ова реч је симбол онога што је битно, карактеристично и заједничко за све поменуте скупове, а то је њихова бројност, односно број. Дакле, доследна и правилна употреба говора у изграђивању математичких појмова снажно помаже прелаз с перциптивних на мисаоне радње. Вербално изражавање стимулише развој мишљења и омогућава да се спољашња радња (материјално) трансформише у унутрашњу (мисаону) радњу.

Међу факторима који утичу на изграђивање и формирање појмова природног броја, значајну улогу има и методички приступ, односно начелни став према коме се уређују субјективни и објективни услови учења.

Методички приступ о изграђивању почетних математичких појмова темељи се на начелном ставу о вредности властите активности ученика и индуктивном начину сазнања. Овакав став доводи до методичког приступа у коме појмове уводимо на индуктиван начин уз примену развојно-откривајућих метода, односно метода у којима ученици имају највећу могућу активну улогу и у којима субјективно откривају истине о појму.

Начелни став о изграђивању и формирању појма природног броја доводи до различитих методичких приступа, из којих издвајамо два основна: - скуповни и - бројевни приступ.

Сваки од ових приступа базира се на различитим садржајима, односно начелима према којима се уређују односи у процесу стицања знања. Док скуповни приступ полази од појма скупа и неких елементарних скуповних појмова, бројевни полази од процеса бројева са ослонцем на бројевну праву. За почетну наставу математике значајан је онај приступ који у већој мери уважава математичко расуђивање у том процесу.

Скуповни приступ

Пут од скупа ка броју је једино правилан и логичан пут увођења деце у свет бројева. Без способности класификације скупова у односу на релацију једнакобројности и серације у којој сваки следећи скуп има један елемент више, нема ни изграђивања појма броја и уочавања квантитативних односа међу бројевима. Тако да, најисправније би било прве бројеве изграђивати скуповно, а потом користећи се њима постепено прећи на формирање осталих бројева бројевним приступом.

Скуповни приступ полази од појма скупа и неких његових елементарних појмова. Појмови природних бројева, операција и релација међу њима, изграђују се кроз процес манипулисања скуповима конкретних објеката, апстраховањем небитних и генерализовањем битних (карактеристичних) својства тих скупова и одговарајућих активности са њима.

Изграђивању појмова природног броја предходи формирање неких основних скуповних појмова:

- придруживање елемената једног елементима другог скуп;

- упоређивање скупова и изграђивање скуповних релација: “подједнако”,“мање”, “више”;

- класификација скупова у односу на релацију једнакобројности;

- серација скупова у односу на релације: “мање”, “више”.

Значајан корак у изграђивању појма природног броја је класификација скупова у односу на релацију једнакобројности. Како је то релација еквиваленције, за сваку класу бира се представник класе, а од ученика се тражи да наводе и састављају скупове једнакобројне том скупу који је узет за представника класе. За представнике класе треба бирати скупове блиске ученицима и оне који се могу представити графички. На тај начин формирају се класе једнакобројних скупова које представљају основу за увођење појмова природних бројева до пет.

Како је једнакобројност скупова једна од заједничких особина скупова једне исте класе, то се она узима за карактеристично својство при увођењу појма броја.

Дакле, природни број је заједничка особина скупова који припадају једној истој класи. Једнакобројним скуповима одговара један исти број, док скуповима који то нису одговарају различити бројеви. Због тога, за сваку класу се уводи термин и ознака (симбол) за број који јој одговара.

Формирање појмова бројевних релација: “мањи од”, “већи од”,“једнаки”, и формирање бројевног низа, полази од одговарајућих релација са скуповима:“мање”, “више”, “подједнако” и серације скупова у односу на те релације.

Серацијом скупова формира се скуповни низ на тај начин што се сваки следећи члан низа добија додавањем предходном члану још један нови елемент.

На пример, бројевна релација “мањи од” изграђује се помоћу скуповне релације “мање елемената”. Низ природних бројева формира се на основу одговарајућег скуповног низа. Па на пример, скуповном низу који је формиран с обзиром на релацију “мање”, одговара бројевни низ:

1, 2, 3, 4, 5, …

у коме сваки број има потпуно одређено место.

Бројање - Након формирања природног низа приступа се учењу деце бројању.

Бројање представља мисаону радњу. Треба да се одвија тако да физичка активност детета постепено прелази у мисаону активност.

Изграђивање појма бројења може да тече по следећим фазама:

- физичко придруживање елемената скупа члановима бројевног низа;

- вербално придруживање елемената скупа бројевном низу уз померање елемената;

- мисаоно придруживање елемената скупа бројевном низу;

- мисаоно бројање-не везујући број конкретно за одредјен скуп.

Физичком кореспонденцијом елементи датог скупа придружују се низу природних бројева почев од броја један па надаље. Последњи број у низу одређује број елемената датог скупа.

Вербално придруживање се изводи померањем елемената датог скупа и изговарањем имена бројева природног низа почев од броја један. Последњи изговорени број одређује број елемената датог скупа.

Мисаоно придруживање изводи се пратећи елементе датог скупа погледом и изговарајући имена бројева природног низа, почев од броја један.

Бројање у мислима, не везујући број конкретно за одређени скуп-апстрактно бројање и бројање елемената апстрактних скупова, има користи у смислу бољег упознавања бројевног низа,јер се броји унапред,уназад,почев од неког броја, и сл.

Бројање апстрактних скупова спада у мисаоно бројање,јер елементи тих скупова нису реални објекти, већ појаве, радње, и сл.

Значи, ученици треба да схвате да је потребно да изброје да би сазнали колико нечега има.

Формирање појмова операција с бројевима - сабирање, одузимање, множење и дељење, остварује се помоћу одговарајућих радњи са скуповима: здруживање скупова, издвајање неког подскупа из датог скупа, разлагање скупа на подскупове и сл.

Како је процес формирања појмова рачунских операција ускладјен са процесом формирања мисаоних радњи, он треба да садржи следеће етапе:

- извођење радње са скуповима конкретних објеката и дидактичким материјалом;

- графички приказ радње;- извођење радње на бројевној правој;

- извођење радње бројевима.

Значајно код свих етапа је што након извођења радње инсистирају на њеном вербалном изражавању, а последња етапа и на симболичком записивању.

Сабирањем се полазећи од два дата броја формира нови број. Формирање појма сабирања започиње здруживањем скупова конкретних објеката у један скуп Проблем који доводи до увођења појма сабирања је одређивање броја који одговара новоформираном скупу ако су дати бројеви који одговарају полазним скуповима.

На пример, ако се скуп од 3 елемената здружи са скупом од 2 елемената, новонастали скуп има 5 елемената. Значи, сабирањем броја 3 с бројем 2 добија се број 5, и то вербално изражавамо: 3 плус 2 једнако је 5. У даљем поступку практична активност ученика се замењује мисаоном активношћу, рад са бројевима, а говорно изражавање симболичким записивањем, у нашем случају 3 + 2 = 5.

Слично, формирање појма одузимања започиње издвајања неког подскупа из датог скупа, при чему настаје нови скуп који садржи преостале елементе датог скупа.

Значи, одузимање је радња којом се одређује број који одговара новонасталом скупу, помоћу бројева датог скупа и издвојеног подскупа. Односно, одузимањем се, полазећи од два дата броја, формира нови број.

Појам множења формира се у процесу здруживања једнакобројних скупова, а појам дељења у процесу разлагања скупова на једнакобројне подскупове.

Значи, сабирање, одузимање, множење и дељење су радње с бројевима којима се, на описан начин, полазећи од два или више броја, формира нови број. Таква радња с бројевима назива се рачунска радња.

Предности скуповног приступа у односу на друге методичке поступке :

1. Скуповни приступ уважава, у знатној мери, карактеристике психичког развоја ученика које су битне за фазу конкретне операторне интелигенције. Тако обезбеђује чврсту емпиријску подлогу за изградњу апстрактних појмова и ствара повољне услове за развој логичког мишљења.

2. Упућујући на откривање посматрањем и манипулисањем скуповима конкретних објеката,у потпуности остварује, прву етапу дијалектичког пута сазнања, непосредно посматрање. Мисаоним активностима апстракције и генерализације, и вербалним изражавањем тих односа, остварује и другу етапу дијалектичког пута сазнања, рад на нивоу апстракције. Остварујући дијалектички пут сазнања при формирању појмова природног броја, скуповни приступ пружа велике могућности примене тих појмова у пракси.

3. Процес формирања појмова природног броја је у потпуности усклађен с психичким законитостима формирања мисаоних радњи, тј. материјалним, вербалним и мисаоним извођењем радње. Како су корени мисаоних радњи с природним бројевима различите материјалне радње са скуповима реалних објеката, то, лишене материјалне подлоге, мисаоне радње с бројевима су празне и без одговарајућих садржаја. То су најчешће радње с математичким ознакама без знања њиховог садржаја.

4. Изграђујући појмове природног броја скуповним приступом не стварају се препреке за њихово даље надграђивање и уопштавање у наредним фазама наставног процеса.

5. Скуповни приступ сазнајном процесу појмовима природног броја усклађује се с општим дидактичко-методичким принципом изграђивања математичких појмова: прво се изгради појам, потом усвоји одговарајући термин (вербални симбол) и на крају одреди ознака (графички симбол). Значи, симбол не сме доћи пре појма, јер у противном долази до формализма у настави математике.

Бројевни приступ

Према бројевном приступу појмови природног броја формирају се помоћу бројања, односно разним активностима бројања с ослонцем на бројевну праву. Заправо, полази се од претпоставке да дете доласком у школу већ поседује извесна знања бројања, па да се на том знању даље могу изградити појмови природног броја. Међутим, та знања у већини случајева представљају пре механички научене речи, које они набрајају: један, два, три, ..., а не бројање.

Формирање појмова природног броја започиње бројањем предмета ван скуповне одређености.То бројање може бити: - именовањем предмета и - без именовања предмета. Бројање именовањем предмета има за циљ да ученици схвате да се бројањем одређује количина избројених предмета, односно да је број квантитативно својство реалне стварности. Бројање без именовања предмета има за циљ да ученици стекну способност бројања и схвате место броја у бројевном низу.

Бројање предмета може још да се изводи: померајући предмете; додирујући предмете без померања; пратећи предмете само погледом; мисаоно, апстрактно бројање.

Међутим, успешност коју дете показује у поменутим радњама и даље не значи да оно разуме значење броја који бројањем добија. Зато је потребно да оно схвати место сваког броја у низу природних бројева, што се постиже увежбавањем бројања у мислима, апстрактним бројањем и бројањем апстрактних објеката. У том циљу ученици броје унапред, уназад, почев од неког броја, броје ударце, броје кораке, скокове, и сл.

Појам броја један овим приступом изграђује се навођењем примера јединки: један наставник у одељењу, једна глава на телу, један нос на глави и сл. Остали природни бројеви фомирају се полазећи од броја један и искуства које је стечено у процесу бројања.

На пример, број два формира се полазећи од броја један додавањем још једне јединке. Па имамо, један и још један је два, два и још један је три, три и још један је четири, и тд. На тај начин добија се природни низ бројева: 1, 2, 3, 4, ... , 10, 11, 12, ... , 20, ... , 30, 31, ... у коме сваки број има потпуно одређено место.

Појмови релација међу бројевима формирају се с обзиром на место броја у природном низу. На пример, број 8 је већи од броја 5, јер у природном низу (бројању) број 8 следи иза броја 5.

Како овим приступом, објашњавање односа међу бројевима не указује на везу с реалношћу и не упућује на примену у реалности, уводи се појам броја нуле, појам проширеног природног низа бројева и појам бројевне праве.

Број нула уводи се као број коме је број један следбеник.Значи,у природном низу бројева нула је испред броја један, а низ бројева: 0, 1, 2, 3, ... , 10, 11, ... , 20, ... , 30, 31, ... је проширени низ природних бројева (проширени природни низ бројева).

Ако се сваком броју проширеног низа природних бројева придружи редом по једна тачка на правој тако да је растојање између сваке две суседне тачке увек исто, онда се та права назива бројевна права. Тачка која је придружена броју нула назива се почетна тачка бројевне праве. На тај начин, сваком природном броју одговара по једна дуж на бројевној правој чија је једна крајња тачка почетна тачка бројевне праве, а друга, тачка коју смо придружили датом броју. Дуж која одговара броју један назива се јединична дуж. Бројањем се може установити да се јединична дуж у дужи која одговара броју два садржи два пута, у дужи која одговара броју три три пута, и тд. ——————————————————————————— 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... Помоћу бројевне праве може се констатовати да: - број један се садржи у сваком природном броју онолико пута колико тај број има јединица; - природни низ бројева има почетак, а нема крај; - сваки природан број који следи иза неког датог броја већи је од тог броја (сваки природан број који претходи неком датом броју мањи је од тог броја).

Појмови операција с природним бројевима формирају се бројањем с ослонцем на бројевну праву. Појам сабирања и појам одузимања бројевни приступ своди на узастопно одређивање следбеника и претходника. Појам сабирања у почетној фази формира се додавањем датом броју одговарајући број јединица, бројећи по један, све док се не дође до броја који садржи толико јединица колико их имају оба сабирка заједно. Појам одузимања формира се бројањем уназад одбројавајући толико јединица, бројећи по један, колико их садржи број који се одузима.

Увођењем појма одузимања појам броја нуле може се појаснити као: - одузимање броја од самог себе, - крајњи резултат узастопног одузимања јединице од било којег броја.

Појам множења и појам дељења формирају се преко узастопног вишеструког сабирања и узајамног вишеструког одузимања истог броја.

Предности и недостаци бројевног приступа: 1. Бројевни приступ, као методички поступак, у знатној мери уважава и користи искуство у бројању које су деца стекли пре поласка у школу, чиме се у претпојмовној фази смањује време потребно за припрему усвајања појмова природног броја. Међутим, некада та искуства могу да сметају, уколико нису резултат разумевања значења бројевне речи.

2. Процес изграђивања појмова природног броја овим приступом није усклађен с психолошким законитостима формирања мисаоних операција, што је од значаја за почетну фазу изграђивања природног броја. Бројевни приступ у потпуности изоставља прве две етапе-материјално и вербално извођење радње. Ослањајући се на бројање, те операције почињу се изграђивати трећом етапом. Међутим, овакав приступ значајан је у наредним фазама изграђивања и проширивања појмова природног броја. Наиме, када се у почетној фази изградње усвоје битне ознаке у садржају појмова природног броја, онда надаље треба примењивати бројевни приступ с обзиром да је тада значајан рад с појмовним објектима, односно мисаоно извођење радње.

3. У првој етапи изграђивања (изграђивање првих десет природних бројева, релација и операција с тим бројевима), бројевни приступ не обезбеђује усвајање тих појмова математичким расуђивањем, али у наредним етапама обилато се користи тим расуђивањем.

* * *

Сада када знамо све битне карактеристике скуповног и бројевног приступа сазнајном процесу о појмовима природног броја, намеће се питање: Када се којим приступом треба користити?

Када се има у виду све напред речено о бројевном и скуповном приступу, може се закључити да:

- када се ради о првом, почетном упознавању појмова природног броја, скуповни приступ има несумњиву предност и тада се њиме треба користити;

- када се, пак, ти појмови изградјују и проширују надаље, у оквиру бројева сто, хиљаду и даље, предност има бројевни приступ па се тада њиме и треба користити.

Разлог такве примене јесу управо карактеристике сваког од приступа.

Наиме, скуповни приступ је, више него бројевни, прилагођен карактеристикама психичког развоја детета у фази конкретне операторне интелигенције и законитостима изграђивања мисаоних операција. Он омогућава да се интелектуалне активности ученика потпомогну властитом активношћу са скуповима конкретних објеката, што у потпуности одговара природи детета.

Када се усвоје битне ознаке у садржају појмова природ

---

ног броја, поступно треба напуштати скуповни приступ и примењивати бројевни. То је и неопходно јер је рад са скуповима конкретних објеката само средство за постизање коначног циља, а то је оспособљавање ученика за рад са бројевима. Када је реч о граници до које треба примењивати скуповни приступ, а потом отпочети с применом бројевног приступа, строго узето, таква граница не постоји. Али, на основу свега напред реченог, оправдано је да се појмови природног броја у оквиру прве десетице (или првих пет бројева) изграђују скуповним, а даље бројевним приступом. Међутим, то не значи да на даље треба примењивати строго бројевни приступ и искључити све елементе скуповног. Насупрот, када год је то могуће и у даљем раду треба се користити неке садржаје скуповног приступа.

Литература:

1.Дејић М., Ергић М. (2005): Методика наставе математике, Учитељски факултет у Јагодини

2.Добрић Н. (1981): Методика формирања почетних математичких појмова, Виша школа за образовање васпитача, Београд

3.Каменов Е. (1990): Предшколска педагогија, Завод за издавање уџбеника, Београд

4.Малиновић,Т.(1998): Математичко расуђивање о појму у почетној настави математике, Зборник радова,Књига V, Учитељски факилтет, Врање

5.Мићановић В. (2005): Диференцирана обрада бројева у почетној настави математике, Завод за уџбенике и наставна средства, Подгорицa